PARTIDA 2: A. f4 l:. cS No hay defensa. tc6 1 6 lllxd5! dS d6 2 1 lllxb6 axb6 l S. txaS otorga a las blancas una. xdS 'ifxdS 22 i. gran ventaja material y de desarrollo, y txdS a xd5 16 i. xd5 Este alfil no tiene rival en las casillas blan- Wxa4 17 l:. xd5 l S lllxd5. d6 19 :ta6!
bS 20 l:. d l deja a las negras completamente d8 atadas Svéshnikov sostiene su caballo clavado, pero Quizá 1 5. jugada del texto. En ese caso las blancas ganan tf4 golpeando en las líneas abiertas de forma temá- tica: 1 6 lllxd5! xc7 lS. xb7 y ahora, tras l S. l:lbS 19 i.
xc5 de nuevo se impide el enro que a las negras 1 7. txd5 'ii'xd5 l S l:. fd l 'ii'e6 1 9 l:. todas las líneas abiertas intervienen en esta combinación: la columna-d, la colum na-e y varias diagonales xc5 y - ¿lo diré otra vez?
xa7 'ifxaS txdS txc5 l:. eS 25 l:. aS seguido de. b6 23 l:. dS 24 i. xc5 , seguido de i. b6, y las blancas ganan el final de peones tras cambiar todas las piezas en dS en finales de re yes y peones con todos los peones en el mismo 18 'iff6 flanco, un peón de ventaja suele ser suficiente Después de 1 S.
para ganar si es un 2 contra 1 , y casi siempre y cae f7 , y si l S. e7, sigue 1 9 i. c6 'ii'b4 20 gana en casos de 3 contra 2 ó 4 contra 3. clavada que pende sobre su caballo 1 9 l:. tb l No la automática 16 l:. g5 f6 xb6 axb6 l S 'ii'd l l:. xal 1 9 'ii'x al. xa7 es gana vuelve las tomas.
dor para las blancas b7 'ifxb7 2 1. d2, seguido de. ta5 , es penoso 22 i. e7 24 l:. xa7 24 l:. Jálifman despeja el camino para que su torre-al penetre en a6 ó a7. td6 Finalmente el alfil mueve, sólo para ser fatal mente clavado de inmediato. Pero 1 9. e7 20 l:. xa7 'ii'b 6 2 1 'ii'xb6 lllxb6 22 i.
c7 supondría serias pérdidas materiales, y txdS 1 9. xa7 i. e7 22 'ii'bs También ganarían las blancas tras 1 6. txg2 ble. Esta segunda clavada decide la partida de in 25 'it'd5 mediato. Clavándolo de nuevo. Ahora se amenaza 26 20 l:tb8. llc 6. Ni mejor ni peor que cualquier otra jugada.
Una victoria muy dinámica por parte de Jálifman. Tras ofrecer un peón mantuvo su presión sobre Svéshnikov con una lluvia cons tante de amenazas.
Cuando las negras declina ron la última oportunidad de poner su rey en seguridad ya en el décimo movimiento se ha llaron de inmediato en serias dificultades. Já lifman se dio cuenta de la importancia de abrir líneas y se dispuso a ofrecer más material para reforzar su ataque.
En los últimos compases de la partida, a los problemas de las negras se sumó una seria debilidad en las casillas blan cas. Las blancas mantienen ambas clavadas. xf6 gxf6 de las partidas. que pesa sobre su caballo.
Amenazando 25 �c8. Dom i n io eficaz del centro El tercer objetivo principal de la apertura es obtener control sobre el centro.
El centro del tablero es particularmente importante por dos razones. Para empezar, la mayoría de las piezas despliegan una mayor actividad en el centro; esto es especialmente aplicable a los caballos, pero afecta a todas las piezas, excepto a la torre en mayor o menor grado. Por ello, si obtenemos el control del centro, au tomáticamente nuestras piezas serán más efectivas que las del rival.
La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey, tendrán poca influencia en el ala de dama.
Esto no supondría un problema si estamos conduciendo un ata que en el flanco de rey contra el monarca enemigo, por ejemplo, ya que la acción se desarrolla en ese sector y ahí es donde queremos que estén nuestras piezas.
Sin embargo, si aún no está claro dónde serán necesarias nuestras piezas puede comprometer mucho nuestra posición enviarlas al flanco de rey: el rival podría hacer que no fueran efectivas, por ejemplo enrocando largo, y podría resultar que nuestras piezas estuvieran mejor colocadas en cualquier ot, ra parte.
Si están cerca del centro pueden ser trasladadas fácilmente a un flanco u otro en poco tiempo. Esto nos da más flexi bilidad a la hora de decidir dónde atacar, y hace que sea más fácil oponernos a los planes del rival, independientemente de en qué sector actúe.
PARTIDA 3: K. ASÉIEV - N. No obstante, no es fácil definir en qué consiste el control del centro: es algo que se reconoce al verlo, más que al aplicar una fórmula.
Puede consistir en ocupar el centro con peones como en la siguiente partida , pero ya hemos visto anteriormente en la partida 1 que esto no es necesario.
En aquella partida las blancas controlaban el centro a distancia con sus piezas, pero el resultado fue igualmente efectivo. Por regla general, esté o no el centro ocupado por peones, la acción de las pie zas es el factor crítico.
Un centro de peones sin un apoyo de piezas adecuado probablemente se de rrumbe ver partida 4. Por ello el principio general es que las piezas deben desarrollarse de forma que puedan ejercer la máxima influencia posible sobre el centro.
Pa rtida 3 K. Aséiev N. Rash kovski -. Campeona to de Rusia, San Petersburgo Defensa Moderna , Ataque Austríaco. Las blancas liberan a su disputar el centro blanco en absoluto. dama y a su alfil, y a la vez colocan un peón en 2 d4 el centro.
Formando el centro de peones ideal pero. En sus comentarios a la partida Edward Las 2 i.. g7 ker-Capablanca, Nueva York 1 , Alekhine Presionando ligeramente d4. En la mayoría escribió sobre 1.
g6: "Desde el punto de vista de los casos las negras buscarán incrementar actual de la teoría, esta jugada no puede consi esta presión jugando por las casillas oscuras.
derarse completamente válida, ya que las ne 3 lllc3 gras se comprometen a un esquema concreto Las blancas deben escoger entre ocupar el sin poder ejercer ninguna influencia sobre el cuadro c3 con su peón-e o con su caballo. Jugar juego central de su adversario".
Sin embargo, 3 c3 refuerza la casilla-d4 y reduce la actividad esto no impidió a Capablanca ganar la partida, del alfil-g7, pero quita al caballo-bl su casilla y en estos tiempos l.
g6 denominada "Defen más activa; por ello la mayoría de los jugadores sa Moderna" está considerada como una aper prefieren la jugada del texto, que es más natu tura perfectamente aceptable. Al jugar l. g6 ral. las negras no pierden, como Alekhine suponía, 3 d6 la posibilidad de jugar en el centro; más bien la De nuevo una jugada por las casillas negras.
retrasan hasta que las blancas se hayan compro Ésta es una buena preparación para un eventual metido en el centro. Normalmente la reacción. negra implica. e5, aunque hay algunas 4 f4 variantes en las que las negras juegan.
Éste es el sistema más agresivo para las blan Es preciso realizar una pequeña advertencia cas contra la Defensa Moderna: formar un gran acerca de la Defensa Moderna.
En muchas aper centro de peones, desarrollando las piezas tras turas clásicas, como la Francesa l e4 e6 2 d4 él mediante lll f3, i.. Si las d5 , la estrategia central de las negras va ligada blancas consiguen completar su desarrollo sin a su elección de apertura, mientras que en la que su centro sea atacado, las negras se hallarán Defensa Moderna las negras tienen más liber en dificultades; por ello, es esencial para las ne tad de elección.
Con esta libertad adicional apa gras actuar con rapidez. Existen varias alterna rece la responsabilidad extra de asegurar que la tivas a la jugada del texto. Si las con i.. Las blancas también pueden negras se retrasan demasiado y permiten a las adoptar otros sistemas intermedios como 4 i..
g5, que pueden tratarse de forma posicio 6. id3 nal o agresiva, dependiendo de la reacción ne Ésta es la mejor casilla para el alfil, ya que e4 gra.
necesitará apoyo cuando las negras jueguen. ib7 , especialmente si tenemos en cuenta que el caballo-c3 puede ser expulsado median te. ib7 La intención de las negras es arañar el centro blanco con. ll:id7 y. c5, alcanzando quizá más adelante una posición similar a la de una Siciliana tras el cambio.
cxd4 o dxc5 de blan cas. Este avance de peón tiene varias virtudes: 1 Impide a las negras desarrollar su caba llo-g8 por la casilla natural de f6. pero esto le lleva tres movimientos y da a las 3 Permite un futuro sacrificio de peón en blancas tiempos para sostener su centro.
Es e6. cierto que las negras ganan algo de espacio en Las blancas deben tener cuidado de no pa el flanco de dama, pero esto no es compensa sarse, pero en vista del juego lento de su rival no ción suficiente por el tiempo perdido.
En par parece que haya peligro. tidas de club los jugadores suelen salir bien pa Jugadores de talante más posicional preferi rados con planes excéntricos de este tipo por rían una segunda línea, igualmente prometedo que sus rivales no tratan de sacar ventaja de ra: 7 ll:id7 8 ll:ie2. La idea es responder a ellos, o no saben cómo explotar sus debilida.
c5 con c3, manteniendo intacto el centro de des. En esta partida Aséiev reacciona correc peones. Tras 8. c5 9 c3 ll:igf6 10 ll:ig3, por tamente: completa su desarrollo lo más rápida ejemplo, las negras aún no habrán realizado mente posible, poniendo al mismo tiempo el ningún avance real contra el dominio central de máximo de obstáculos al desarrollo negro.
Este su oponente, mientras que las piezas blancas se desliz no es suficiente para que las negras pier están reagrupando peligrosamente para un pos dan, pero a partir de aquí tendrán que andar con terior ataque al enroque.
mucho cuidado, especialmente si tenemos en cuenta que les hacen falta dos movimientos para enrocar. Las negras disponen de varias alternativas aceptables: 4. ll:if6 traspondría a una apertura similar denominada Defensa Pire 1 e4 d6 2 d4 ll:if6 3 ll:ic3 g6 4 f4 i. g7 sería el orden de juga das de la Pire.
Si quieren jugar una Defensa Moderna pura, pueden intentar 4. ll:ic6 ó 4. Todas estas jugadas apuntan al centro, pero 4. a6 no. A Rashkovski le preocupa un posible e6 de 10 las blancas y gasta un movimiento en impedir Ambos reyes se enrocan, pero eso es lo único lo, pero esto sencillamente es demasiado lento.
que tienen en común. El blanco está realmente Debió haber continuado con su plan mediante seguro en g 1 , pero el negro aún se encuentra ex 7. lt: d7. La línea crítica sigue 8 c5 9 i. e4 9 puesto en el flanco de rey. La razón es que las exd6 cxd4 no está claro 9. xe4 10 lt: xe4 negras sólo tienen dos piezas menores en ese cxd4 1 1 e6 1 1 exd6 'ii'b6 ofrece contrajuego a sector, mientras las blancas ya tienen allí un al las negras l l.
fxe6 1 2 lt: eg5 lt: f8 no se puede fil y dos caballos preparados para actuar. En permitir que el caballo llegue a e6, y 1 2. lt: cS cuanto la dama se les una, los defensores ne no es posible por 1 3 b4 1 3 lt: xd4, llegándose a gros tendrán una dura tarea.
una posición complicada en la que las negras 11 'ii'e l tienen un peón de más, pero la disposición de Aséiev aprovecha oportunamente el tiempo sus piezas en el ala de rey es casi cómica. Yo es que tiene reservado. cogería las blancas porque no están claras las 11 a5 perspectivas del caballo de f8, pero es cierto que la posición negra es relativamente sólida.
Un movimiento muy instructivo y muy fuer te. Evidentemente, las blancas tienen todos los Una buena jugada. En esencia el plan de las elementos necesarios para un ataque peligroso blancas consiste en atacar por el flanco de rey en el flanco de rey, pero aún les falta bastante mediante , lt: e4 y 'ii'e l -h4.
Sin embargo, pri para forzar el mate, así que no pueden permitir mero se induce a las negras a avanzar su peón a se ignorar el resto del tablero.
Saltar al ataque b4. Así, un posterior 'ii'e l ganará un tiempo, al inmediatamente con 1 2 'ii'h4 sería contraprodu atacar el peón-b4. Aunque puede parecer in cente. La respuesta sería 1 2. lt: fS y las blancas significante, detalles de este tipo son muy im tendrían que retirarse con 1 3 'ii'h 3 si quisieran portantes.
El tiempo que ganan las blancas ace continuar con su ataque. Pero la dama está fue lera su ataque, y no tiene ninguna desventaja: ra de juego en h3 y es mucho mejor dejarla don un tiempo extra a cambio de nada. de está ahora, hasta que el juego en el flanco de 8 b4 rey ofrezca algo más tangible.
Más o menos forzado. No es posible 8. c6 La jugada del texto coloca a las negras en porque después de 9 lt: e4 el caballo llegaría a una situación incómoda.
Por un lado, las blan d6; por otro lado, 8. bxa4 destrozaría los peo cas estabilizan su centro y lo protegen contra un nes negros del flanco de dama y metería en jue posible ataque mediante un eventual. c5 por go a la torre-al. ejemplo, las negras podrían jugar. xe4 se 9 lt: e4 lt: e7 guido de.
lt: d7 y. Por otro, se ame Prudentemente, las negras aprovechan su naza ganar de inmediato un peón con 1 3 cxb4, oportunidad de alejar a su rey del centro. ninguna defensa natural. bxc3, 1 3 bxc3 trasladar alguna de sus piezas del flanco de abre el camino para un posterior.
Esto dama a la defensa. obligaría a las negras a mover su peón-d6, con 14 h6 lo que aumentaría la influencia del alfil-a3 y se dxe5 1 5 fxe5 no hace ningún bien y sólo despejaría la casilla-c5 para el caballo blanco serviría para que el alfil-e l colaborara en el ata de e4.
Estas ventajas darían a las blancas una que. Por ello, las negras tratan de expulsar el ca partida virtualmente ganada en el ala de dama, ballo.
y no habría ningún ataque en el de rey. sible continuación sería 1 3. txe4 xe4 d5 id3 c5 ia3 tlld7 b5 cxd4 1 8 cxd4, con presión abrumadora en el flanco de dama. Las negras podrían jugar tllb c6 pero, ahora que d4 está seguro, el ataque blanco podría con tinuar con 1 3 tllfg5, de forma similar a la parti da.
ia6 Rashkovski juega a simplificar, que es el tí pico método para reducir la fuerza de un ata que. Aunque consigue eliminar los alfiles, las negras quedan con un caballo fuera de juego en a6, que tendrá poca influencia en el resto de la partida. txa6 tllxa6 Las negras preferirían jugar 1 3.
Jha6, pero A veces es posible conducir un ataque que no pueden porque deben defender b4. Nótese exija pocos cálculos, pero esto no es habitual cómo la maniobra de distracción blanca en el contra una determinada oposición.
Con más flanco de dama con c3 ha forzado a su oponente frecuencia surge un momento crítico en el que a hacer más concesiones posicionales, lo que a se requiere un preciso análisis para que el ata su vez mejora las perspectivas de ataque blancas.
que tenga éxito. Ese momento ha llegado, y 14 tllfg5 Aséiev demuestra que está a la altura. La conti nuación crítica es txf6 16 exf6 y ahora: l tllc 8 1 7 tllxe6 fxe6 1 8 'ii'e4 gana por la doble amenaza sobre g6 y a8.
tlld5 17 tllxe6! tllf5 1 hxg5 17 fxg5 tllf5 18 g4 traspone 17 g4 hxg5 tras 1 e8 1 9 gxf5 exf5 20 'ii'h4 l:. if4, seguido de l:tf3-h3, ganando. tllc6 1 7 tlle4! la continua Las cosas empiezan a tener mala pinta para ción más enérgica, abriendo el flanco de rey y al las negras.
Aséiev dispone de diversas amena mismo tiempo activando el alfil-e l 1 8. dxe4 zas; una de las más simples es 1 5 g4, mante 1 8. exf5 19 'it'h4 dxe4 ixh6, seguido de niendo al caballo negro alejado de f5, y después. ig7, y mate 1 9 fxg6 fxg6 1 9. Debido al dominio central 'ii'd6 21 'ii'g4, seguido de.
es la variante más instructiva. El material está 19 fxe6 igualado, pero las negras están condenadas por 20 'ii'f2! sus debilidades posicionales en el ala de dama, Amenazando mate en dos mediante 21 en especial el caballo descolocado en a6.
l:tf8 l:tf8 permitiría 2 1. Los caballos blancos muestran una hermosa Aséiev sigue teniendo una posición ganado estampa. Para evitar la pérdida de la calidad las ra incluso después de esta jugada, pero al blo negras deben entregar su importante alfil defen- quear la columna-f se dificulta la victoria.
Es sor. una pena que se le escapara la siguiente secuen tras este caballo siga ahí las negras no tienen es La textual amenaza 22 exd6 cxd6 xd6, peranzas de defender su flanco de rey. seguido de.
l:td8 pierde ante 22 'ii'e2 tar que su oponente traslade sus fuerzas de re ¡ de nuevo el caballo-a6! tllb 8 23 exd6 serva al ataque, mediante f5. Tras 1 7. tllg 8 1 8 cxd6 exf5 g5 'ii'c 8 21 l:tf3 l:td8 2 l. h5 torre.
Una idea temática. Las blancas no pueden 18 f5! hacer progresos inmediatos en el ala de rey, así El golpe temático, amenazando forzar el mate que pretenden crear preocupaciones a las ne mediante 1 9. Ahora las negras vo que aparece más adelante en la partida.
han de tener en cuenta la posibilidad de que las 18 l:th8 blancas abran la columna-e mediante cxb4 o 1 8. tll xf5 19 l:txf5 exf5 Jugadas preparatorias como ésta no son ma así que las negras defienden h6.
las, ya que las negras no pueden mejorar su po- 19 fxe6 sición. Ahora que la torre negra se ha visto forzada a 22 c5 abandonar la columna-f es cuando a las blancas Las negras deciden que no pueden quedarse les interesa abrirla.
más tiempo pasivas, y reaccionan pataleando. bxc3 23 lhc3 sería malo para ellas porque ll:lxe5 28 ti'g3 dejaría a las negras inde esta torre se trasladaría al ala de rey, con lo que fensas; por ejemplo, ll:lbc6 29 ll:ld7 ll:lxd7 la única alternativa era esperar, por ejemplo 30 l:.
xf8 l:. hxf8 3 1 'fllc 7 ll:lce5 32 c6 o En ese caso las blancas ganarían 29 i. f4 ll:lbc6 30 ll:ld7. mediante 23 cxb4 axb4 o ll:lxb4 24 l:. c3, 28 l:. h3 seguido de l:. h3 24 Ji. d2, donde no hay modo Amenazando el viejo truco 29 i.
Parando la amenaza, pero cediendo la casi- 23 dxc5 lla-h5 y abriendo la diagonal bl -h7. Las blancas capturan y retienen el peón.
ll:lc6 24 Ji. e3, seguido de. ll:lxe5 perdería de tiempo, y repite movimientos para acercarse inmediatamente por al control de tiempo de la jugada 40 en nues 24 g4 tros días el ritmo de juego estándar en competi ¡ De nuevo a la carga!
ciones internacionales es de 2 horas por jugador 24 ll:le7 para los primeros 40 movimientos. Al provocar g4, las negras han evitado al me 32 i. ningún caso ofrece esperanzas. d2 ll:lxb4 33 :f3. a7 34 c6 l:. c7 ll:lxc6 Con la amenaza de cambiar en b4 y luego 35 l:.
xf7 Bloqueando el peón-e, pero ahora se echará 33 'ii'c2 de menos a este caballo en el enroque. f6 l:. af8 30 'ii'e 3, y h6 cae. e3 trasladarse al flanco de rey para asestar el golpe El caballo no puede moverse porque debe de gracia.
proteger g6, así que todo ha terminado para las 27 'ife7 negras. PARTIDA 4: J. VAN DER WIEL - R. VAGANIÁN No vale Cuando Rashkovski se vio obligado a cambiar 37 'ii'c3 su alfil de casillas negras el final estaba ya cer No 37 'ii'b l?
cano debido a sus debilidades endémicas en ese 37 ll:ixg4 complejo de casillas. Aunque a Aséiev se le es 38 l:txe6 capó la victoria más rápida, era sólo cuestión de Si Las enseñanzas a extraer de esta partida En esta partida Aséiev castigó severamente a son: su rival por sus libertades en la apertura 4.
l El control del centro es un objetivo im y especialmente 7. E l modo e n que fue portante en la apertura. elaborando su ataque es digno de mención: pri 2 No es prudente dejar al rival las manos mero estableció en el centro una cuña de peones demasiado libres en el centro.
bien apoyada c3-d4-e5-f4 y luego comenzó a 3 Un centro bien apoyado es a menudo la trasladar sus piezas al flanco de rey. Al mismo semilla de un ataque contra el rey en un flanco. tiempo mantuvo los ojos abiertos para crear al 4 Un caballo firmemente instalado en la gunas preocupaciones adicionales a las negras sexta fila suele ejercer un efecto paralizante so en el otro flanco por ejemplo, jugando.
ta3 o bre las fuerzas enemigas. El centro de peones sobreexpa ndido A l ocupar e l centro con peones e n l a apertura, u n jugador está asumiendo una cierta responsabi lidad. Si puede mantener intacto el centro de peones y sostenerlo adecuadamente con piezas, pro bablemente obtenga ventaja. Sin embargo, si el apoyo al centro es insuficiente, ese centro se de rrumbará como un castillo de naipes en cuanto reciba un golpe.
La causa más común de un pobre apoyo de piezas es la falta de desarrollo. Construir un centro de peones consume un cierto número de tiempos que no pueden usarse a la vez para desarrollar las piezas. Por ello, es natural que un gran centro de peones vaya de la mano de un pobre desarrollo.
La cuestión es si el oponente tiene forma de explotar rápidamente la falta de desarrollo, ya que de otra forma el dueño del centro completará su desarrollo y obtendrá ventaja. A menudo es extremadamente difícil juzgar cuál será el resultado de una lucha de este tipo. De hecho, existen sistemas de apertura basados completamente en permi tir al rival construir un gran centro de peones; incluso tras décadas de análisis nadie sabe si algunos de estos sistemas son correctos.
En la siguiente partida las negras adoptan precisamente un planteo de este tipo. Las blancas construyen su centro como estaba previsto, y el combate está servido. Pa rtida 4 J. va n der Wiel R. Ter Apel Defe nsa Alekh i n e , Ataq u e de los Cuat ro Peo n es. Mediante el ataque al peón-e se Para comentarios a este movimiento, ver par restringen las opciones de las blancas.
Las úni tida 3. cas jugadas naturales aquí son 2 ll:ic3 y 2 e5. Sin 1 ll:if6 embargo, 2 ll:ic3 permite a las negras, como mí Ésta es una de las respuestas más directas a l nimo, trasponer a una inocua apertura de peón e4, en la que el plan negro está claro desde la de rey jugando 2.
Vienesa, se suele llegar tras el orden l e4 e5 2 lllc 3 lllf6. Así pues, la única forma real de po ner a prueba el movimiento negro es 2 e5. A primera vista no parece que las blancas deban tener dudas en avanzar su peón, ya que no sólo se gana espacio en el centro sino que aparente mente se gana tiempo, pues las negras deben mover de nuevo su caballo.
Pero la base de la idea negra es que para sostener al peón avanza do de e5 su rival tendrá que realizar más movi mientos de peón, al menos d4. En esta partida las blancas deciden ir hasta el final y juegan también c4 y f4.
Esto les da un gran centro, pero mientras tanto se quedan retrasadas en el desa rrollo. Como dijimos en la introducción a esta Ya conocimos a John van der Wiel en la par partida, es muy difícil decir si el centro se man tida 1 y estamos familiarizados con su estilo tendrá fuerte o se derrumbará: de hecho, la De agresivo y directo.
Aquí adopta la línea más fensa Alekhine ha sido objeto de debate teórico ambiciosa, pero a la vez una de las más arries durante unos 80 años, sin que se haya llegado a gadas contra la Defensa Alekhine, el denomi ninguna conclusión definitiva. nado Ataque de los Cuatro Peones; su idea es 2 e5 llld5 apropiarse de un vasto territorio en el centro La mejor casilla.
lbe4 sería demasiado con la esperanza de desarrollar las piezas tras provocadora; después de 3 d4 el caballo está va él, mediante lbc3, lllf3,. e3, etcétera. rado en e4. Las blancas apoyan su peón avanzado a la Las negras se preparan para presionar sobre el vez que se reservan la opción de seguir hosti peón-d4.
gando al caballo con c4. Aquí las negras empiezan ya a pre más tiempos con el rey. En cualquier caso, no sionar al peón-e5. tendría sentido jugar una línea agresiva como el 4 c4 Ataque de los Cuatro Peones y después ofrecer Van der Wiel decide avanzar otro peón.
De el cambio de damas. nuevo las negras han de mover su caballo, así 6 lbc6 que esta jugada no es realmente una pérdida de Atacando d4.
Pero las blancas han asumido la res 7. e3 ponsabilidad adicional de defender el peón-c4. Las blancas realizan su primera jugada de Hoy en día, la opinión general es que estos pieza.
Si las negras no hubieran gastado algu avances de peón no benefician mucho a las nos tiempos, seguramente el lujo de realizar blancas, y la estrategia mejor considerada por seis movimientos consecutivos de peón habría la teoría es contentarse con los dos peones que sido fatal para las blancas.
Sin embargo, las ne ya están avanzados y concentrar sus esfuerzos gras han empleado tres movimientos en escapar en sostenerlos. De acuerdo con esto, el mejor con su caballo a b6, así que el retraso de las plan es 4 lllf3, seguido de.
e2 y blancas, aun siendo real, no es tan serio como 4 lllb 6 para causar el desastre inmediato. Presionando sobre el peón-c4 y limitando así 7 lllf3 sería un error, porque tras 7. g4 8 la actividad del alfil de casillas blancas del ri. e3 e6 las negras ganan un tiempo con respec val.
to a la continuación de la partida. Es más exacto 5 f4 esperar a que las negras jueguen. mover lLJ:f3, ya que entonces tendrían que gas 9. tg4 tar un tiempo extra si quieren clavar el caballo. Sí, las negras han movido voluntariamente la 1.
trs misma pieza dos veces, pero con una idea clara Preparándose para liberar a su última pieza en mente. La eliminación del caballo-f3 debili menor con. En este punto aún no está claro tará la defensa de d4 y, tras. si las negras deben tratar de enrocar corto o ju blancas tendrán serios problemas para defen gar a presionar rápidamente d4 por medio de derlo.
te2 8 lLJc3 Otra idea es 1 O 'ili'd2, para defender el peón Las blancas están ansiosas por recuperar su d4 con Una posible continuación sería déficit en desarrollo. te7 es interesante; 8 e6 cuando las blancas jueguen , la réplica El alfil-f8 puede salir por e7 o b4, según las.
lLJa5 no sólo atacará c4, sino que además circunstancias. amenazará un doble en b3 1 1. te2 12 9 lLJf3 lLJa5, y las blancas ya no pueden mante ner su centro de peones intacto y deberán inten tar salvarse por medio de la.
táctica con 1 3. tg5, entrando en complicaciones. En las últimas jugadas ambos bandos se han concentrado en desarrollar sus piezas, pero aho ra las negras deben decidir cómo aumentar la presión sobre los peones rivales antes de que el txf3 primer bando desarrolle las piezas que le faltan Gracias a la presión sobre c4, Van der Wiel y se enroque.
Una idea es 9. te7, para jugar tiene que recapturar con el peón, lo que destro. Este plan es bastante eficaz, así za su estructura y expone a su rey.
te7 con. la posición negra antes de que puedan enrocar. Esta jugada parece algo extraña e n conjun Este libro no es lugar para un debate detallado ción con el cambio en f3 , aunque en vista de su sobre teoría de aperturas; baste decir que 10 d5 , éxito en esta partida es difícil criticarla.
Se sue aunque muy complicada, se considera satisfac le preferir 1 1. tf2 'ili'f4 1 3 c5 lLJd7 toria para las negras. Sin embargo, Vaganián te7, una línea teórica que recibe habi decide adoptar otro plan, que también parece tualmente el veredicto de "juego poco claro".
dar a las negras un juego cómodo. El hecho de De hecho, la idea del cambio en f3 es dar jaque que las negras dispongan de varias continuacio en h4. La textual lleva a una posición similar a nes satisfactorias es la principal razón de que el las que aparecían en la nota al décimo movi Ataque de los Cuatro Peones aparezca rara vez miento blanco, pero en la que las negras han en las partidas de los grandes maestros contem cambiado voluntariamente en f3 sin que les poráneos.
forzaran mediante h3. xd4 'ii'xd4 1 8 'ii'xd4 l:lxd4 1 9 i. xb7 Las blancas buscan explotar el temprano i. xc5 gana peón lllxd4 17 i. xb7 'fi'b5 1 8 cambio en f3 reforzando el peón-e5 , y prepa i.
Esta po rando así una posible ruptura d4-d5. Sin embar sición es muy desagradable para las blancas: su go este plan es demasiado ambicioso, dado que alfil es malo y, después de que su oponente jue su rey aún se encuentra en el centro y su desa gue. l:ld5 y. l:lfd8, tendrán que enfren.
rrollo es bastante pobre. El resultado es que tarse a problemas cada vez más serios en la pronto se verán en apuros. Era mejor 1 2 'ii'd2 seguido de En ese Van der Wiel juega la única alternativa: echar caso el rey estaría relativamente seguro y d4 re se hacia adelante con el peón-d.
Si un gran cen forzado; la posición estaría prácticamente equi tro de peones comienza a sufrir una presión librada. insoportable, el momento crítico llega cuando la única alternativa a ceder los peones es usar los como un ariete para abrir la posición enemi ga.
El que esta estrategia tenga éxito depende N evidentemente de características concretas de la posición, pero aquí es fácil de ver que no tie ne buena pinta para las blancas, porque sus to rres aún no han entrado en juego y su rey está expuesto.
Más fuerte que la alternativa g4 'ile7 1 5 cxd5 e s tentador, pero 1 5. c 5 es incómodo para las blancas g4 fuerza a las negras a realizar un dudoso sacrificio de dama con 1 5. xc3 1 6 dxc6 'ii'x c6 A Van der Wiel se le debió escapar esta ines 17 'ii'b 3 amenaza a la vez el alfil y i.
b5 , y gana perada jugada. A primera vista xc3 17 dxc6 con posición muy ce más natural, pero permitiría 1 3 c5! llld5 14 complicada. lllxd5 'ifxd5 1 5 i. f3 'ii'd7 1 6 d5 , y las blancas han conseguido realizar su ruptura central.
No es posible exd5 por la clavada 17 i. g4, y de otra forma las blancas juegan d6, creando una B cuña en la posición negra y paralizando el desa rrollo de su flanco de rey. Al jugar. d8 en lu gar de.
g4, y ahora esta línea, en la que su ri val había puesto sus esperanzas, ya no funcio na. Este es un interesante ejemplo de cómo, a la hora de tomar decisiones en ajedrez, lo concre to debe prevalecer siempre sobre lo general.
En principio las negras preferirían enrocarse, pero cuando el análisis concreto demuestra que es mejor dejar el rey en el centro, Vaganián no duda en abandonar los principios generales.
un serio error. Las alternativas eran: Después de 1 3 c5 llld5 1 4 lll xd5 'ifxd5 1 5 i. f3 1 14 dxc6? exd5 1 5 i. xb6 traspone a la par Ahora este cambio es útil porque permite. a la tida. dama negra penetrar. gl exd5 1 5. xb6 axb6 16 cxd5 16 cxd5 'ii'h 3!
con ventaja negra tras 17 l:. xd5 'ii' h 3 1 7 'ii'f3 'ii'xf3 1 8. xf3 l:td4 l:. g3 'ii'xh2 o 1 7 1i'd3 'ii'xh2 1 8 l:. al menos un peón. es la defensa más tenaz. Después 16 'ii'h3 de txc3 1 4. diata 1 7. ahora no sirve 1 6 'ii'b 3 porque no se amenaza 17 �e2 i. b5 ; la posibilidad de 'ii'g l es la razón por la Única.
que 14 �f2! es mejor que 14 , otro ejem 17 plo de lo concreto por encima de lo general Echando sal en la herida. El rey blanco nau 1 6. d4 1 7 'ii'xg7 l:. f8 las negras tienen algo de fraga ahora desesperadamente en el centro del ventaja por la situación expuesta del rey blanco, tablero, mientras el negro está perfectamente a pero la batalla está lejos de estar decidida.
La idea es. fe8, y el sacrificio de pieza El movimiento de la partida es un error por en e5 está al caer. que el alfil de casillas negras es una pieza clave 18 'ii'd3 en la defensa. Sin él, las casillas negras en el Si 1 8 tllb5 1 8 tlle4 i. Es y ganan 1 8. c5 cierto que la eliminación del caballo-b6 hace también gana 19 'ii'b 3 el sacrificio es letal: que las blancas puedan mantener su tambalean l 9.
tllxe5 20 fxe5 l:. de8 con la te centro de peones por más tiempo, pero las amenaza e3 22 tlld4 i. c5 y cae todo. nuevas debilidades permiten a las negras explo 18 tlle7? tar los problemas de su rival por otras vías.
Los Vaganián gana incluso después de esto, pero peones avanzados han dejado un gran vacío de habría sido más sencillo terminar con el sufri trás; con la desaparición de los últimos restos miento blanco mediante 1 8. tes del control blanco sobre las casillas negras, las 20 l:. afl f5!
piezas de Vaganián en particular su dama pue den colarse por las numerosas grietas. Ahora de nuevo las negras ganan cómoda mente. ad 1 sería una defensa más tenaz; 15 i. f3 las negras deberían continuar con txc3 tcS 2 1 l:. gl exd5 traspone a la línea "3" de la nota tan claro 2 1 bxc3 tll g6 22 l:td4 c5!
d8 y 15 exd5 el expuesto rey blanco debe sucumbir. xc3 La caza del rey no durará mucho. Sólo necesita abrir la columna-d para completar el cerco al rey blanco. agl l:. aS y 22 l:tabl l:taS no ofrecen esperanzas, pues no hay respuesta a las amenazas a4 c5 23 'ile3 'ii'f5 y cae f4.
dS Un hermoso final, desclavando el peón-f7 y amenazando 2S. e2 es la única defensa, pero en ese caso las negras pueden escoger entre la sencilla 2S. Ésta era la idea de la jugada anterior. Ahora desaparecerá el peón-d5 y el rey blanco será La diferencia entre un centro de peones fuer atacado por todas partes.
te y otro débil puede ser muy sutil. Cuando un 22 dxc6 jugador adopta el ambicioso plan de formar un 22 'ii'xb7 lLlxd5 sería desesperado. gran centro de peones, un ligero desliz puede 22 bxc6 resultar fatal. Aquí, Van der Wiel cometió un 23 'ii'c4 desliz ya en el movimiento 1 2, cuando realizó Defendiendo f4, pero no por mucho tiempo.
una jugada de más con sus peones y cayó en un 23 lLlg6 serio retraso en el desarrollo. Si Vaganián hu Amenazando biera contestado de forma mecánica, Van der 24 l:.
agl Wiel podía haberse salvado, pero realizó una Si 24 'ile4 Cuando las blancas dejaron l:. partida en la jugada 14, se acabó todo definiti 24 'ifr5 vamente.
Una combinación de debilidades en Con las amenazas las casillas negras, un rey atrapado en el centro 25 l:. g4 y un gran vacío tras su sobreextendido centro Las blancas no pueden pararlo todo.
La dama penetra con efectos decisivos. MARKOWSKI - A. ONISHCHUK mantenerse y apoyarse con piezas será fuerte, 3 El cambio de un alfil por un caballo pue pero existe el peligro de que se derrumbe. de dejar debilidades en las casillas que estaban 2 Una vez se ha construido el gran centro controladas por ese alfil.
de peones, hay que apresurarse con el desa 4 A la hora de escoger una jugada las con rrollo; más pérdidas de tiempo pueden ser fa sideraciones generales pueden ser útiles, pero tales.
el análisis concreto siempre tiene preferencia. El juego moderno de gambito A mediados del siglo XIX los gambitos eran algo normal y corriente. Modelo simple: Un jugador En este caso un jugador debe administrar un bien privado que se comporta como recurso común.
Su- pongamos que un ganadero dispone de un pastizal al que llevar sus vacas. El costo de llevar cada vaca es de c. Por otra parte, el valor o utilidad v que obtiene de cada vaca depende del número de vacas M que envı́a al pastizal obsérvese que si envı́a solamente una, podrá comer lo que quiera y volverá sana y con mucho peso, mientras que si envı́a muchas no habrá comida para todas, y volverán débiles y flacas.
Bien común con dos jugadores En este caso, son dos los ganaderos que comparten el pastizal al que llevar sus vacas. El primero, J1 , lleva m1 unidades y el segundo, J2 , lleva m2.
A diferencia del caso con un jugador y un bien privado, la respuesta a estas preguntas contiene un elemento estratégico, pues cada ganadero influye con sus decisiones en el rendimiento que el otro puede obtener del pastizal; es decir, existe interacción estratégica. Para simplificar el problema, supongamos que las vacas son perfectamente divisibles.
Bien común con n jugadores Supongamos ahora que, en vez de dos jugadores, existen n. El costo de llevar cada vaca a pastar es de c. La utilidad para el ganadero i viene dada por: ui mi , m2 , De la condición de primer orden podemos extraer la siguiente interpretación.
Ası́ pues, en el equilibrio al usar una unidad más, Ji compensa exactamente con dicha rentabilidad positiva directa la rentabilidad negativa indirectamente ocasionada al usuario Ji y sólo a él. Además, al igual que en el oligopolio a la Cournot, existe una externalidad negativa creada entre los usuarios del recurso común al decidir la intensidad de su explotación de dicho recurso.
Considere un modelo con n jugadores pero sin asumir una forma funcional para la función de valor v M. Las funciones de ganancias son: u m1 , Supondremos que las variables m1 , m2 , Por tanto, la sobreexplotación se produce cuando el número n de usuarios del recurso es mayor que 1, y se agrava conforme dicho número aumenta.
Estratégicos Sustitutos y Estratégicos Complementarios Los concepto de estratégicos sustitutos y estratégicos complementarios se refieren a la dirección de la reacción de las empresas, es decir, a las funciones de mejor respuesta de las empresas.
Complementos Estratégicos Sea πi xi la función de beneficios de la firma i, donde xi es la variable estratégica que escoge, la firma i. Esto es, precio o cantidad.
Complementos estratégicos implica que las funciones de mejor respuesta tienen pendiente positiva. Si la variable de elección de la empresa son complementos estratégicos, y el aumento de un parámetro exógeno en el mercado produce un aumento del ingreso marginal, entonces el aumento de este paráme- tro produce un aumento en la elección estratégica de equilibrio.
La competencia en precios a la Bertrand es un ejemplo de estratégicos complementarios. Es decir, si la firma 1 aumenta el precio, la firma dos reacciona aumentando el precio. Esto se puede observar en la pendiente positiva de la función de reacción de las firmas.
Sustitutos Estratégicos En el caso de los estratégicos sustitutos, si la derivada cruzada es negativa, entonces la función de mejor respuesta de la firma tiene pendiente negativa.
Es decir, si la derivada cruzada es menor a cero, la función de reacción de la firma es estratégico sustituto. Un bien puede ser complementario, y la función de reacción de la empresa puede ser estratégico sustituto. Es decir, si la firma 1 aumenta la cantidad de producción, la firma dos reaccionará disminuyendo su cantidad de producción.
Esto es fácilmente observable en la función de reacción de la empresa, donde la cantidad de producción de la otra firma aparece restando. Estratégias Mixtas El concepto de solución equilibrio de Nash EN , tal como se ha definido, tiene una dificultad muy importante ya que su existencia no está garantizada, ni siquiera en juegos tan sencillos como los juegos finitos.
Por ejemplo, el juego de las monedas cara o sello carece de EN en estrategias puras. Si ampliamos el concepto de estrategia, el conjunto de equilibrios de Nash se amplı́a también, de tal modo que podremos afirmar que todos los juegos finitos poseen al menos un EN.
Para ello, debemos incorporar la posibilidad de estrategias mixtas. Hasta ahora hemos utilizado la palabra estrategia para referirnos a un plan completo de acciones ciertas de cada jugador. En el caso de juegos estáticos con información completa, dicho plan se reduce a elegir una, y sólo una, de las acciones disponibles.
Por ejemplo, en el juego de las monedas cara o sello las únicas estrategias de cada jugador son jugar Cara y jugar Cruz. A tales estrategias las hemos denominado estrategias puras. La ampliación del concepto de estrategia consiste en permitir que los jugadores no sólo puedan elegir entre acciones ciertas y concretas, sino que también puedan seleccionar acciones aleatorias, es decir, puedan tomar acciones inciertas, que asignan distintas probabilidades a las distintas acciones ciertas.
A las estrategias que deciden de manera aleatoria sobre acciones ciertas se las denomina estrategias mixtas. Consideremos el siguiente juego. J2 Derecha Izquierda Derecha 0, 0 1, -1 J1 Izquierda 1, -1 0, 0 En este juego, existen dos jugadores, el espacio de estrategias de cada jugador es {derecha, izquierda}, y si se observa bien es un juego de suma cero, es decir, lo que gana uno es lo que pierde el otro.
El rasgo distintivo de este juego es que a cada jugador le gustarı́a adivinar la jugada del otro jugador y que el otro no adivinara la suya. En cualquier jugo en el cual a cada jugador le convenga adivinar la jugada del otro y que el otro no adivine la suya, no existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras, porque la solución de tal juego incluye necesariamente un elemento de incertidumbre sobre lo que harán los jugadores.
Para resolver este juego debemos aplicar estrategias mixtas que entendemos como la incertidumbre de un jugador respecto a lo que otro jugador hará. Formalmente; para el jugador i, una estrategia mixta es una distribución de probabilidades sobre las estrategias Si 7.
Considere la siguiente matriz con la distribución de probabilidades de cada jugador. Formalicemos el análisis anterior. Se interpreta σi como la estrategia consistente en jugar la estrategia pura s1i con probabilidad σi1 , s2i con probabilidad σi2 , P Sea 4 Si el conjunto de estrategias mixtas del jugador i, indicando que el conjunto de estrategias mixtas de un jugador está formado por todas las loterı́as sobre Si.
Entre las estrategias mixtas están aquellas que asignan probabilidad 1 a una de las estrategias puras y probabilidad cero a todas las demás. Por tanto, toda estrategia pura es también estrategia mixta: ası́ la estrategia pura sji se puede identificar con la estrategia mixta 0, La ampliación del concepto de estrategia para dar cabida a las estrategias mixtas supo- ne además convertir en estrategia a toda combinación lineal convexa de al menos dos estrategias puras.
La definición del equilibrio de Nash cuando permitimos la existencia de estrategias mixtas no es más que una extensión del concepto visto para estrategias puras. Téngase en cuenta que una estrategia mixta no es más que una loterı́a sobre estrategias puras y que la función de pagos o ganancias es lineal, para cada jugador, en las probabilidades de sus distintas estrategias puras.
Por tanto, el pago esperado para un jugador de una estrategia mixta, suponiendo fijas las estrategias de los otros jugadores, resulta ser una combinación convexa de los pagos de las estrategias puras contenidas en dicha estrategia mixta, y en consecuencia, la ganancia esperada de una estrategia mixta tiene como lı́mites inferior y superior las ganancias mı́nima y máxima de las estrategias puras de dicha estrategia mixta.
Un perfil de estrategias mixtas es un equilibrio de Nash si y sólo si para cada jugador, todas las estrategias puras contenidas de su estrategia mixta son una respuesta óptima a la combinación de estrategias de equilibrio del resto de los jugadores.
Esto significa que las estrategias mixtas de equilibrio asignan una probabilidad estrictamente positiva sólo a aquellas estrategias puras que son respuesta óptima a las estrategias del resto de jugadores.
De ello se deduce que una estrategia mixta es respuesta óptima a estrategias puras o mixtas dadas, sólo si sus estrategias puras lo son también. En consecuencia, las estrategias puras soporte de una estrategia mixta de equilibrio producen ganancias iguales.
En efecto, si un jugador tiene una estrategia mixta σi que es respuesta óptima a una combinación de estrategias del resto de jugadores, entonces cualquier estrategia pura contenida en σi o cualquier estrategia mixta que se pueda formar con algunas o todas las estrategias puras de dicho conjunto, son también respuestas óptimas.
Juegos Dinámicos con información completa y perfecta Los juegos estáticos son un caso particular de juegos dinámicos donde los jugadores toman decisiones de forma simultánea, o bien, donde ningún jugador conoce la decisión que toma el otro jugador. En el caso de los juegos dinámicos o secuenciales se especifica el tiempo en que cada jugador toma una decisión.
Aun ası́, mantenemos los supuestos de información completa, es decir, se conocen los pagos asociados a cada acción, e información perfecta, es decir, se conoce la historia de todo lo que se ha jugados en el pasado. Para representar un juego en forma extensiva, debemos identificar los siguientes aspectos: 1.
Quiénes son los jugadores. Cuándo tiene que jugar cada jugador. Qué cosas puede hacer cuando le toca jugar; acciones.
Qué sabe dicho jugador, cuando le toca jugar, acera del desarrollo previo del juego. Cuáles son los pagos esperados de cada jugador para cada posible desarrollo del juego. La representación en forma extensiva de un juego finito se realiza mediante un árbol constituido por ramas y nodos.
El nodo inicial representa el comienzo del juego y no es precedido por ningún otro. Los nodos finales o terminales representan el final del juego. Los nodos intermedios pueden ser nodos de azar, que representan una jugada del azar o la naturaleza, o nodos de decisión, que representan una jugada de decisión de uno de los jugadores.
En los nodos terminales se informan los pagos asociados a cada jugador. El primer pago corresponde al jugador que comienza jugado, y el segundo pago al jugador que juega en segundo lugar. De tales vectores de pagos puede decirse que son los resultados del juego, interpretando aquı́ la palabra resultados como las consecuencias en términos de utilidad del juego.
Los conjuntos de información permiten representar el conocimiento que cada jugador tiene en el momento de decidir en un nodo del desarrollo previo del juego. Una estrategia pura de un jugador es un plan de acción completo. Especifica una acción factible de dicho jugador para cada uno de sus conjuntos de información.
Un perfil estratégico es un vector de estrategias, una por cada uno de los jugadores. Todo camino que, siguiendo las ramas del árbol, conduce desde el nodo inicial a un nodo terminal es una senda, resultado o trayectoria posible del juego.
Cada vez que se juega efectivamente un juego se recorre uno, y sólo uno, de los desarrollos posibles cuál sea este desarrollo depende de cómo hayan jugado los jugadores y de qué resultados se hayan producido en las jugadas de azar.
Ası́ pues, todos los desarrollos posibles del juego han de estar a la vista en el árbol del juego, y hay tantos como nodos terminales. Y decimos que G es de información perfecta si cada conjunto de información de cualquiera de sus jugadores es unitario.
Si, por el contrario, existe un jugador con algún conjunto de información no unitario, decimos que el juego G es de información imperfecta. En otras palabras, un juego es de información perfecta que todos los jugadores conocen con precisión lo que se ha jugado anteriormente.
Un juego tiene información imperfecta si, al menos, un jugador no conoce la historia del juego. Algunos juegos de salón famosos, como el ajedrez y las damas, son juegos de información perfecta, mientras que los juegos de cartas no suelen serlo cada jugador desconoce, al menos parcialmente, las cartas de los demás, es decir, desconoce el resultado de algunas jugadas de azar, y ello le impide saber, en el momento de realizar su jugada, en qué nodo se encuentra.
Sin embargo, una competencia dura, por ejemplo una guerra de precios, harı́a que ambas empresas se quedaran sin beneficios. La representación de este juego en su forma extensiva serı́a de la siguiente forma: D Guerra de precios Competir En este juego, las estrategias de la firma desafiante son Entrar y No entrar, y las de la firma incum- bente son Competir y Guerra de Precios.
Aun- que ambos EN parecen razonables a la vista de la matriz de pagos aquı́ representada, veremos que el primero de ellos es más razonable que el segundo si analizamos ambos en su desarrollo temporal. En ese caso sabemos que a cualquiera de los jugadores le interesa atenerse a su estrategia particular en dicho perfil, siempre que el otro haga lo mismo, ya que este perfil es un EN.
Todo se conforma al sentido común en este caso y, a la vista de este razonamiento, los jugadores confirman su interés en no desviarse unilateralmente de ese desarrollo previsto. En efecto, Competir duro es una respuesta óptima de la firma incumbente a No entrar desde la perspectiva del juego global, pero no lo es si nos situamos en el nodo de decisión en que la firma incumbente le toca jugar.
Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos Cada juego en forma extensiva puede representarse en forma normal o estratégica donde imaginamos a los jugadores escogiendo simultáneamente las estrategias que pondrán en práctica. Esa representación en forma estratégica del juego original en forma extensiva consiste simplemente en enumerar, para cada jugador, todas sus estrategias, e indicar, para cada perfil de estrategias, los pagos que correspon- derı́an a cada jugador si el juego se desarrollara de acuerdo con dicho perfil estratégico.
Las jugadas de azar o juegos de la naturaleza, se tienen en cuenta calculando los correspondientes pagos espera- dos. Se dispone ası́ de un esquema de representación matricial, o bimatricial en el caso de dos jugadores. Este juego en forma normal puede considerarse una especie de resumen estático del juego dinámico original.
Es cierto que al representar en forma normal un juego que originalmente estaba en forma extensiva puede perderse algo y en general se pierde de la información original del juego, pero aun ası́ dicha representación puede ser útil para el análisis del juego, ya que pone a nuestra disposición todos los instrumentos de análisis del juego, y en particular los conceptos de dominación de estrategias, de dominación de Pareto, de estrategias mixtas y de equilibrio de Nash.
La estructura temporal de un juego dinámico con información completa obliga a cada jugador a tener en cuenta que sus decisiones en cada momento influyen en las posibilidades y pagos posteriores para él y para los demás, y que al mismo tiempo las decisiones futuras previsibles suyas y de los demás condicionan sus decisiones presentes.
Aparece ası́ un elemento de vital importancia, la credibilidad que se puede dar a las decisiones futuras a la hora de determinar las decisiones presentes, es decir, la credibilidad de las posibles amenazas o promesas que se pueden plantear sobre el comportamiento futuro para condicionar el comportamiento presente de los jugadores.
Un Equilibrio de Nash Per- fecto en Subjuegos representa, para el caso de los juegos dinámicos con información completa, una adecuación y una mejora con respecto al equilibrio de Nash, precisamente porque tiene en cuenta ese elemento de credibilidad antes mencionado.
Un EPS sobrevive a amenazas no creı́bles. Puesto que todo juego en forma extensiva puede representarse en forma estratégica una vez identifi- cadas las estrategias de todos los jugadores, podemos hacer una propuesta de solución de un juego en forma extensiva, que consistirı́a simplemente en el conjunto de los equilibrios de Nash de su represen- tación en forma estratégica.
Ahora bien, puesto que sabemos que se pierde información al traducir a forma estratégica la forma extensiva de un juego, podrı́a suceder que algunos o todos los EN encontra- dos fuesen razonables desde una perspectiva estática del juego, pero no lo fuesen desde la perspectiva dinámica que tiene en cuenta detalles omitidos en la forma estratégica.
D Guerra de precios Competir El mismo juego, los podemos representar en su forma estratégica o normal. En este juego, las estra- tegias de la firma desafiante son Entrar y No entrar, y las de la firma incumbente son Competir y Guerra de Precios.
En efecto, la Guerra de Precios es una respuesta óptima de la firma incumbente a No entrar desde la perspectiva del juego global, pero no lo es si nos situamos en el nodo de decisión en que la firma incumbente le toca jugar.
Consideremos ahora la siguiente situación. Luego, la representación en forma extensiva de este juego serı́a: Hay 4 nodos de decisión, que forman tres conjuntos de información, dos de ellos unitarios, y hay 5 desarrollos posibles.
La representación de este juego en forma normal serı́a: Luego, los EN en estrategias puras son [ Entrar, A , B], [ No entrar, A , A] y [ No entrar, B , A].
Parece natural pensar que los criterios de actuación que les guı́en a partir de ese momento coincidirán con los que tenı́an antes de iniciar el juego. El nodo x es el conjunto de información unitaria. Algunos autores consideran el propio juego G como un subjuego. Esto es una conversión, pero algunos autores pueden diferir.
Si G es de información perfecta, cualquier parte que comience en un nodo de decisión y contenga todos los nodos que le siguen es un subjuego debido a que todos los conjuntos de información son unitarios. Un subjuego puede empezar en un nodo de azar, porque consideramos que dicho nodo es un conjunto de información unitario.
Los juegos estáticos representados en forma extensiva tienen sólo un subjuego, que es el propio propio, ya que el único conjunto de información unitario que tienen es el nodo inicial. El Premio Novel de Economı́a, Reinhard Selten, propuso en el concepto de Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos.
Sea G un juego en forma extensiva y s un perfil de estrategias G que es un EN, decimos que s es un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuego EPS de G si la restricción de s a cualquier subjuego de G es un EN de dicho subjuego.
Un EPS es una mejor solución que un EN porque, basándose en el criterio de la credibilidad, des- carta los equilibrios de Nash basados en amenazas no creı́bles o promesas no sostenibles es decir, proposiciones que no serán cumplidas dado el desarrollo temporal del juego.
Al exigir respuestas óptimas en cada punto que sea inicio de un subjuego, el concepto de EPS es un paso en la puesta en práctica del principio de racionalidad secuencial, según el cual la estrategia en el equilibrio de cualquier jugador ha de ser una respuesta óptima, en cada punto del juego sea o no sea el inicio de un subjuego, y esté o no esté en la trayectoria de dicho equilibrio , a las estrategias del resto de jugadores.
Si G es un Juego dinámico finito número finito de jugadores, cada uno de ellos con un conjunto finito de estrategias , entonces existe un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de G.
Puede ocurrir que no exista ningún EPS en estrategias puras, lo que implicarı́a que alguna o todas las estrategias que constituyen ese EPS que ha de existir, sean estrategias mixtas.
Inducción hacia atrás En los juegos dinámicos con información completa y perfecta, existe un algoritmo llamado inducción hacia atrás8 que permite identificar con claridad, y hallar de manera sistemática, los EPS del juego.
Éste consiste en racionar por etapas desde el final del juego hacia el principio. Esto es: Dado un juego G finito en forma extensiva con información completa y perfecta, para resolver mediante un algoritmo de inducción hacia atrás debemos: 1. Se identifican todos los subjuegos que se producen en último lugar es decir, aquellos que co- mienzan en los nodos de decisión que sólo preceden a nodos terminales.
Estos subjuegos tienen un único jugador, y su EN es por definición la acción óptima de dicho jugador. A continuación se elimina cada uno de esos subjuegos, salvo su nodo de comienzo, y se considera que dicho nodo pasa a ser nodo terminal del juego global, y se le atribuyen los pagos que se habrı́an hecho efectivos de haberse jugado la acción óptima correspondiente a ese nodo.
De esta manera se han podado las últimas ramas del árbol del juego global inicial, y nos encontramos con un árbol más corto. Se repite con el árbol reducido lo dicho en la etapa anterior, y se continúa con este proceso hasta que se llega al nodo inicial del juego de partida.
Si en algún nodo de decisión hay varias acciones óptimas, el proceso sólo cambia en el hecho de que habrı́a que considerar todas las posibilidades.
Es decir, habrı́a que formar tantos árboles reducidos para la etapa siguiente del análisis anterior en el tiempo como combinaciones hubiera de acciones óptimas en la etapa actual. Al final, obtendrı́amos varios resultados perfectos en subjuegos posibles y varios equilibrios de Nash perfectos en subjuegos, uno por cada proceso de poda diferente.
Si existe la posibilidad de que en algún nodo de decisión haya un número infinito de acciones, pero manteniendo finita la longitud de cualquier desarrollo posible del juego, el proceso sigue siendo válido siempre que, en cada nodo de decisión, exista alguna acción factible óptima.
Por ejemplo, si dos personas deben decir cómo repartirse una torta, donde el jugador 1 ofrece n al jugador 2 y se queda con 1-n. Otro ejemplo es el ajedrez. Éste es un juego de información completa y perfecta, pero dado el gran número de combinaciones posibles, resulta prácticamente imposible utilizar el algoritmo de inducción hacia atrás.
Teorema: Cada juego finito con información completa y perfecta G tiene un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos EPS en estrategias puras que se obtiene por el método de inducción hacia atrás.
Además, si ningún jugador tiene más de una acción óptima en cada nodo de decisión, tal EPS es único. Revisemos el siguiente ejemplo. Considere un juego donde el paı́s A decide si invadir al paı́s B y el paı́s B decide si pelar o rendirse.
La Representación de este juego en forma extensiva serı́a de la siguiente forma: Pelear 7, 2 Paise B Invadir Pais A Rendirse 9, 6 No invadir 8, 8 Represente en forma estratégica o normal de este juego serı́a: Nótese que un análisis estratégico del juego muestra que existen dos equilibrios de Nash: { No invadir, Pelear ; Invadir, Rendirse }.
El Modelo de Duopolio de Stackelberg En , el economista alemán Heinrich Freiherr von Stackelberg propuso un modelo dinámico de duopolio en el cual una empresa dominante o lı́der decide primero y una empresa subordinada o seguidora decide en segundo lugar.
Juego Repetidos al Infinito En un juego repetido con un horizonte finito las amenazas o las promesas creı́bles sobre el com- portamiento futuro pueden influir en el comportamiento presente. Lo mismo no ocurre cuando un juego es repetido con un horizonte infinito. En este caso, si un juego G tiene un único equilibrio de Nash con un horizonte finito, en un horizonte infinito pueden existir muchos resultado perfectos en subjuegos en los que ninguno de os resultados en cada etapa sea un equilibrio de Nache del juego G.
En un juego repetido con un horizonte finito no existen incentivos a desviarse del equilibrio de Nash. Luego, el equilibrio de Nash en casa subjuego es el mismo. En un juego repetido al infinito, los ju- gadores tienen incentivos a desviarse del equilibrio de Nash, y por tanto, el equilibrio perfecto en subjuegos puede diferir del equilibrio de Nash.
Por ejemplo, si dos empresas compiten en un mercado y el equilibrio de Nash es producir la cantidad de Cournot, las empresas que interactúan de forma infinita9 pueden desviarse de este equilibrio y coludirse o formar un cartel que les permita maximizar sus beneficios actuando de forma conjunta como si fueran un monopolio.
Para desarrollar este tipo de modelo, es necesario calcular el valor presente de los beneficios futuros que traerı́a la cooperación entre las empresas. Luego decimos que el valor presente de cooperar debe ser mayor al valor presente de competir o desviarse de la cooperación y volver hacia al equilibrio de Nash.
Para ello, debemos evaluar el factor de descuento con que las empresas valorizan sus ingresos futuros. Suponemos que existe un juego inicial, o stage game, que llamamos G el cual es simultáneo y se man- tiene a lo largo de todo el periodo de interacción.
Como el juego es simultáneo, cada jugador toma una decisión sin saber la acción que están escogiendo los otros jugadores. Los beneficios que percibe cada jugador es la suma de los beneficios de cada periodo producto del tipo de interacción que se haya generado.
Esto presenta un problema ya que la suma de los pagos de cada periodo al infinito es desconocida. Sin embargo, introducimos el factor de descuento como una progresión geométrica repetida al infinito, la cual nos permite conocer el beneficios presentes.
Por ejemplo, la vida de las empresas es supuestamente muy larga, trascendiendo generaciones en muchos casos, por lo tanto, como no es posible determinar el fin de la interacción con otras empresas, se dice que es de horizonte infinito.
Suponga que en un mercado existen dos firmas iguales, dichas firmas compiten en cantidades, pero ellas creen que podrı́an estar mejor si se coluden, para lo cual, cada firma establece la siguiente estrategia: una firma va a decidir cooperar en el periodo t siempre y cuando la otra firma haya decidido cooperar en el periodo t - 1, en caso de que la otra firma no haya cooperado se desvı́e del acuerdo en el periodo t - 1, la firma jugará para siempre la cantidad de competencia en cantidades.
La estrategia planteada es una estrategia severa, pues cuando existe un desvı́o se acaba la posibilidad de cooperación para siempre, por lo cual, aunque existen infinitos casos diferentes pues la competencia es por infinitos periodos , solo dos casos son relevantes de analizar.
Cuando una firma se desvı́a en el primer periodo todos los demás casos, i. Esto, permite la posibilidad pero no la certeza , de lograr acuerdos cooperativos cuando en un juego finito no podrı́an darse. Que exista la cooperación dependerı́a de varios factores, entre ellos el factor de descuento δ, es decir, la ponderación que se le da a los pagos futuros.
Juegos Dinámicos con Información Completa pero Imperfecta La información perfecta dice relación con el conocimiento que tienen los jugadores respecto de cómo se ha desarrollado el juego hasta el momento en el que les toca jugar. En ciertas situaciones a un jugador le puede corresponder jugar sin que sepa qué han hecho los otro jugadores previamente.
Una generalización del algoritmo de inducción hacia atrás permite resolver juegos con Información Completa pero Imperfecta, es decir, un procedimiento para determinar los EPS cuando existen sub- juegos propios con conjuntos de información no unitarios con varios nodos de decisión para al menos un jugador.
Dado un juego G finito en forma extensiva con información completa, pero no necesariamente perfecta, un algoritmo de inducción hacia atrás generalizado es: 1. Se identifican todos los subjuegos que se producen en último lugar es decir, aquellos que co- mienzan en los nodos de decisión lo más cercanos posible a los nodos terminales.
Estos subjuegos pueden tener uno o varios jugadores. Se calculan los EN de dichos subjuegos. Si sólo existe un único EN en estrategias puras en cada subjuego, se elimina cada uno de esos subjuegos, salvo su nodo de comienzo que es reemplazado por el nodo terminal del juego global al que se habrı́a llegado de haberse jugado el perfil EN correspondiente a ese subjuego, y se le atribuyen los pagos de dicho perfil.
De esta manera se han podado las ramas del árbol corres- pondientes a los subjuegos finales del juego global inicial, y nos encontramos con un árbol más corto. Se repite con el árbol reducido lo dicho en las etapas anteriores, y se continúa con este proceso hasta que se llega al nodo inicial del juego de partida.
Acabado el proceso, tendremos unos pagos asociados al nodo inicial del juego, y unas ramas del árbol señaladas como componentes de los EN de cada subjuego. Pues bien, el único desarrollo del juego camino desde el nodo inicial hasta un nodo terminal consistente en que las ramas señaladas son el único resultado perfecto en subjuegos, y los pagos asociados al nodo inicial son los que corresponderı́an a ese desarrollo del juego.
Por otra parte, el único perfil de estrategias, en el que la estrategia de cada jugador consiste en jugar la acción indicada en cada uno de sus conjuntos de información, es el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.
Teorema: Si un juego admite la inducción hacia atrás generalizada, y todos y cada uno de sus subjuegos finales tanto en el juego global como en los reducidos admiten un EN único, el resultado mediante inducción del juego es el único resultado perfecto en subjuegos y las estrategias generadas a partir de las acciones tomadas por cada jugador en cada uno de sus conjuntos de información consti- tuyen el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.
El hecho de que un jugador mueva primero no tiene implicancias estratégicas sobre la decisión del otro. Cualquier juego estático puede ser entendido como un juego dinámico de información incompleta. Cuando a un jugador le corresponde jugar y no sabe con precisión lo que ha ocurrido antes, el conjunto de nodos en los cuales podrı́a estar ubicado lo se conoce como el conjunto de información.
Considerando la matriz de pagos que se muestra a continuación, la representación en forma extensiva de este juego serı́a de la siguiente forma: Jugador 2 Confesar Callar Confesar 1, 1 5, 0 Jugador 1 Callar 0, 5 4, 4 5.
Juegos Estáticos con Información Incompleta y perfecta Un juego tiene unformación incompleta cunado cierta información, como las preferencias, los pagos o toda la información necesaria para describir un juego no es de conocimiento público. Por ejemplo, en algunas situaciones el azar puede tener un rol en el juego; puede existir incertidumbre sobre alguna situación o estado.
Por ejemplo, considere el dilema del prisionero donde los jugadores sólo interactúan una vez, pero con una modificación que sólo afecta al caso en que ambos jugadores realizan su acción Callar.
Supongamos que a las consecuencias ya conocidas de dichas acciones, según las cuales a ambos presos se les va a aplicar la pena correspondiente a un delito menor, y que se traduce en un vector de pagos 4, 4 , se añade la posibilidad, real aunque improbable, de que tampoco esté probado el delito menor, en cuyo caso serı́an puestos en libertad por falta de pruebas.
En caso de que ambos jugadores decidan Callar, a continuación tiene lugar una jugada de azar de cuyo resultado dependerán los pagos. Si ambos jugadores se delatan, el vector de pagos es 1, 1. Si el jugador 1 delata y el jugador 2 calla, el vector de pagos es 5, 0.
Si el jugador 1 calla y el jugador 2 delata, el vector de pagos es 0, 5. Jugador 2 Callar Confesar Callar 6, 6 0, 5 Jugador 1 Confesar 5, 0 1, 1 Este juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras, Confesar, Confesar y Callar, Callar , y uno en estrategias mixtas.
Ejercicios 6. Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas y Equili- brio de Nash 1. Observe los siguientes juegos y determine si se pueden resolver mediante el proceso de elimina- ción iterativa de estratégicas estrictamente dominadas. Juego 1 Jugador 2 Izquierda Centro Arriba 9, 9 4, 4 Jugador 1 Abajo 8, 8 5, 5 Respuesta: El jugador 2 nunca escoge derecha, luego derecha es una estratégica estrictamente dominada.
Dado que el jugador 2 siempre escogerá izquierda, el jugador 1 prefiere arriba. Luego abajo es una estrategia estrictamente dominada.
Ergo, el equilibrio del juego es arriba, izquierda. El jugador 3 siempre jugará A. Para el jugador 2, A es una estrategia estrictamente dominada.
Si el jugador 3 juega A y el jugador 2 juega B, el Jugador 1 prefiere jugar A. Ergo, A, B, A es un equilibrio. Juego 3 Respuesta: El juego no se puede resolver mediante la eliminación iterativa de estratégicas estrictamente dominadas.
El sector pesquero de un paı́s-isla ha entrado recientemente en una grave crisis debido a que se ha pescado en exceso, pese a que las compañı́as pesqueras habı́an firmado un acuerdo para no hacerlo.
Si todas hubiesen cumplido el acuerdo, las capturas podrı́an haber continuado siendo abundantes. Represente esta situaciòn con un dilema del prisionero en el que los jugadores son la Compañı́a A y la compañı́a B y las estrategias son cumplir e incumplir.
Inclya los resultados en la matriz. Explique por qué es inevitable que se pesque excesivamente si no es posible hacer cumplir eficazmente el acuerdo. Un juego como la tragedia de los comunes sugiere que la cooperación entre jugadores puede dar por resultado pagos que los dos jugadores prefieren, en lugar del resultado de Nash.
En este modelo es muy difı́cil presentar un modelo de cooperación, porque la lógica del concepto del equilibrio de Nash sugiere que cualquier otra solución será inestable. Encuentre el equilibrio de Nash en los siguientes juegos a. Considere la siguiente matriz de pagos Jugador 2 L R U 6,2 3,1 Jugador 1 D 1,3 7,7 Respuesta: U,L y D,R son equilibrios de Nash.
Dos individuos deben escoger una carta de un mazo. Las cartas pueden ser 1,2,3,4,J. Si am- bos jugadores sacan la misma carta gana el jugador 1, si sacan cartas distintas gana el que tiene el menor número.
Si ambos jugadores escogen J, entonces es un empate. Los jugadores prefieren ganar que empatar y empatar que perder. Modele el juego y encuentre el equilibrio de Nash. Respuesta: J,J es un equilibri de Nash Jugador 2 1 2 3 4 J 1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 2 0,1 1,0 1,0 1,0 1,0 Jugador 1 3 0,1 0,1 1,0 1,0 1,0 4 0,1 0,1 0,1 1,0 1,0 J 0,1 0,1 0,1 0,1 1,1 c.
En la final del Mundial de fútbol dos equipos se encuentran en penales. Si el jugador con- vierte su paı́s gana el campeonato, mientras que si el arquero ataja, el mejor pateador de penales de su equipo, el cuál convierte con probabilidad 1 un lanzamiento penal , patea el siguiente tiro, i.
Ambos jugadores deben escoger un lado, izquierda o derecha, el jugador donde patear y el arquero donde lanzarse. El jugador siempre lanza el penal al arco, nunca afuera. Cuál cree usted que será el resultado del juego? Suponga que a los jugadores sólo les im- porta ganar; i. si ganan obtienen un pago positivo y si pierden un pago de cero.
Modele el juego en su forma normal y encuentre el equilibrio de Nash. Respuesta: No existe un equilibrio de Nash en estrategias puras. Florencia J1 y Camilo J2 , eligen de manera simultánea entre ir al cine o salir a bailar. Si los dos eligen lo mismo Camilo tiene que pagar a Florencia la entrada.
Por tanto, cada uno ha de tomar una decisión sin conocer la tomada por el otro, pero sabiendo que son ambas decisiones, consideradas conjuntamente, las que afectan al bienestar de cada uno de ellos. En cualquier caso, prefieren salir juntos. Identifique el conjunto de jugadores que participan en el juego.
Identifique el conjunto de acciones de J1 y J2. Identifique el conjunto de estrategias de J1 y J2. Identifique los perfiles de estrategias. Respuesta: Hay cuatro perfiles de estrategias que son P, P , P, N , N, P y N, N , cada uno de los cuales lleva a uno de los resultados del juego.
Identifique los pagos que reciben cada jugador por cada perfil de estratégias. Respuesta: Jugador 2 Cine Baile Cine 5, -5 -5, 5 Jugador 1 Baile -5, 5 5, -5 5. Dos jugadores toman sus decisiones de un modo secuencial. En primer lugar el Jugador 1 elige entre I, C y D. Identifique el conjunto de acciones de cada jugador.
Identifique el conjunto de estrategias de cada jugador. El significado de las estrategias de J2, por ejemplo {d,i}, es el siguiente: Jugar d si J1 juega C y jugar i si J1 juega D.
Identifique los perfiles de estrategias y sus pagos asociados. Hay 12 perfiles de estrategias, cada uno de los cuales conduce a un resultado del juego. Represente este juego en su forma extensiva.
Respuesta: 6. Va a repartirse un pastel entre dos jugadores, de acuerdo con las siguientes reglas: ambos escriben simultáneamente un número entre 0 y 1, cuyo significado es la parte del pastel que reclaman.
Si la suma de ambos números es igual o menor que 1, cada jugador recibe en pago la parte que ha solicitado. En caso contrario, ninguno de ellos recibe nada.
Identifique los pagos asociados a cada estrategia. Respuesta: Por tener cada jugador infinitas acciones posibles, este juego no puede representarse en forma bimatricial. Dos seres vivos pueden comportarse de un modo violento y agresivo halcón o pacı́fico y sumiso paloma en un enfrentamiento por la posesión de un objeto de valor V.
Ambos saben que si los dos se comportan agresivamente se enzarzan en una pelea que les acarrea unos determinados costes C; si ambos se comportan amistosamente se reparten el objeto, pero si cada uno se comporta de un modo diferente, aquel que se comporta pacı́ficamente no obtiene nada y el agresivo se lo queda todo.
Represente este juego en su forma normal. Resuelva este juego mediante el proceso de eliminación de estrategias estrictamente domina- das.
Tres amigos, la Isi, Gastón y Pedro, deben escoger qué van a tomar en el carrete de hoy. Para decidirlo hacen una votación donde cada uno escribe de manera simultánea en un papel el copete que prefiere.
Sólo se puede votar por un copete y no se puede votar en blanco. Se comprará el copete que tenga más votos, y en caso de empate o que no exista acuerdo, los amigos caballero- samente dejan que su amiga escoja. Donde x e y representan cualquier otra estrategia del jugador 1 y el jugador 3.
Suponga que Falabella y Paris están pensando lanzar una oferta de mochilas Kaken. Lo mismo ocurrirı́a para Parı́s si sólo ellos lanzaran la oferta.
La oferta sólo resultarı́a si una empresa la lanza. a Represente este juego en su forma normal. Respuesta: Parı́s Sin oferta Con oferta Sin oferta 4, 4 0, 5 Falabella Con oferta 5, 0 1, 1 b Encuentre el equilibrio de Nash.
Respuesta: El Equilibrio de Nash es Con oferta, Con oferta. Nótese es éste es un juego donde el equilibrio de Nash no es Pareto-optimo. Lo mismo sucede en el Dilema del Prisionero. Considere el siguiente juego. Jugador 2 Izquierda Centro Derecha Arriba 3, 3 4, 2 1, 1 Jugador 1 Medio 2, 4 3, 5 4,0 Bajo 1, 0 2, 1 0, 3 a Enumere el perfil de estrategias para cada jugador.
Considere las siguientes matrices de pagos. Jugador 2 Jugador 2 I M D I M D A 1, 3, 0 -1, 2, 3 -1, 0, -2 A 0, 2, -1 4, 3, 2 1, 2, 0 Jugador 1 Jugador 1 B 2, 1, 1 4, 1, 3 0, 0, 1 B 2, -2, 5 5, 5, 2 4, 6, 4 Jugador 3 juega X Jugador 3 juega Y a Encuentre el equilibrio de Nash. Dos jugadores escriben, simultáneamente, un número entre 0 y 1.
Considere un juego entre dos jugadores donde A y B son las acciones para cada jugador. Deter- mine la matriz de pago para que se cumpla: a El equilibrio de Nash sea Pareto-óptimo. b El equilibrio de Nash no sea Pareto-óptimo. Equilibrio de Nash Aplicado a los Mercados Trek y Merida son 2 empresas que venden bicicletas.
Las bicicletas son bienes homogéneos. El costo marginal de producir una bicicleta es constante e igual a 4. Determine la cantidad y precio de equilibrio de Cournot. LAN y SKY son dos empresas aéreas que ofrecen viajes a Arica. a Encuentre los valores de equilibrio de Cournot.
Calcule el nuevo equilibrio de Cournot y compare ambas utilidades e indique si la fusión benefició a las firmas que realizaron la operación y a la que no participó. La empresa no-fuisionada aumentó sus utilidades. Suponga un mercado donde hay 6 firmas que compiten a la Cournot.
No hay costos variables pero sı́ hay costos fijos F para cada firma. Hay 2 empresas que fabrican papel. Cada empresa tiene un costo por unidad de producción igual a 40, y compiten en el mercado por sus volúmenes, y toman esas decisiones al mismo tiempo.
Muestre cómo derivar el equilibrio de Cournot en este juego. Cuáles son las utilidades de cada empresa en equilibrio? Cuál es la producción de monopolio, es decir, aquella que maximiza la utilidad total de la industria?
Por qué lo que produce cada firma, si existiera un cartel, es superior a Cournot. Suponga ahora que la empresa 1 tiene ventaja en costos. Su costo unitario es constante e igual a 25, mientras que la empresa 2 tiene un costo unitario de Cuál es la producción de Cournot?
Cuáles son las utilidades de las empresas?. Calcule las cantidades de equilibrio, precio de mercado, y beneficios de las firmas si: a. Las firmas compiten como un oligopolio de Cournot.
Las firmas deciden maximizar beneficios mediante una colusión. En el mercado de telefonı́a celular existen tres empresas que compiten entre sı́ en cantidades: T-Mobile, Vodafone y Orange.
Encuentre el equilibrio de Cournot. Calcule los beneficios de cada empresa Suponga que existen dos firmas en el mercado. Determine cuánto producen las firmas cuando compiten en cantidades y cuando forman un cartel tipo Cournot.
Suponga que una de las firmas hace trampa y no coopera en el cartel. Cuál serı́a el nivel de producción que maximiza sus utilidades. Las firma compiten en cantidad. Encuentre el equilibrio de mercado. Suponga que 2 firmas se fusionan. Respuesta: Dado que las firmas son simétricas en costos. Suponga un mercado donde interactúan 2 firmas.
Encuentre el equilibrio del mercado y los beneficios de las firmas. Suponga que en un mercado dos firmas compiten en precios. Calcule el equilibrio inicial sin la innovación para precio, cantidades individuales, cantidad de mercado y utilidades individuales.
Cómo cambia el equilibrio si la innovación es adquirida por la firma 1? Cómo cambia si es adquirida por la firma 2? En cada caso, calcule también el cambio en el excedente social desde el equilibrio en a al nuevo equilibrio.
La firma 2 vende y obtiene utilidades de cero. El excedente social corresponde al bienestar social. La firma 1 no producirı́a nada y obtendrı́a cero utilidades. La empresa que gane la tecnologı́a será aquella que esté dispuesta a pagar un mayor monto que su rival.
En este caso, quién obtendrá la tecnologı́a finalmente? Es eficiente este resul- tado en el sentido que el equilibrio resultando se quien adquiera la tecnologı́a está más o menos cercano a competencia perfecta?
Que la firma 1 gane es el resultado menos eficiente, ya que si hubiese ganado la forma 2, el precio de mercado serı́a más bajo y la cantidad de mercado mayor, o sea, estarı́a más cercano al equilibrio de competencia perfecta que hubiera ganado la firma 2 y no la firma 1.
Si dos empresas compiten a la Bertrand con productos diferenciados, una reducción de los costos marginales de la firma 1 reduce el precio de la firma 2 y aumenta el precio de la firma 1.
Si baja P1 , entonces P2 baja. Por tanto el comente el falso, ya que una disminución en C1 disminuye P2 , pero no aumenta P1. En el mercado existen 2 empresas y éstas compiten en precios. a Determine el beneficio de cada firma en el mercado.
Respuesta: Paradoja de Bertrand. Suponga n firmas con costos marginales idénticos y constantes. Las firmas maximizan sus beneficios escogiendo precios de forma simultánea.
La firma con el menor precio se lleva todo el mercado. Describa la demanda de la firma i. Suponga que existen n firmas las cuales tiene acceso a diferentes tipos de tecnologı́as de produc- ción, y por tanto, tienen costos marginales distintos, de forma que es posible ordenar las firmas de un mercado desde la más eficiente a la menos eficiente; i.
Suponga que las firmas escogen precios de forma simultánea. Encuentre el equilibrio de Nash de este juego. Suponga que existen 2 firmas que venden dos productos diferenciados.
Las firmas se posicionan en los extremos de una recta de intervalo [0, 1]. Los consumidores se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1]. Los consumidores obtienen desutilidades de viajar a lo largo del intervalo [0, 1] para obtener el producto.
Asuma que esta distancia es lineal. Plantee el problema de maximización de beneficios de la firma i. Derive la función de utilidad del consumidor. La tragedia de los recursos comunes. En una pradera existen dos campesinos. El beneficio que se obtiene depende del número total de ovejas que hay en la pradera ya que el pastizal que hay en la pradera y que es de acceso común, constituye la principal fuente de alimentación y, por lo tanto, determina la cantidad final del producto.
Los granjeros deciden simultáneamente, y de modo no cooperativo, cuantas ovejas mantener. Asuma que las ovejas son perfectamente divisibles. Escriba la forma normal de este juego. Respuesta: Para que un juego pueda ser descrito en su forma norma es necesario identificar los jugado- res, las estrategias y los pagos.
Encuentre el óptimo social en que un planificador decide la cantidad de ovejas total para ma- ximizar el excedente. Puede pensar en el planificador como un dueño exclusivo del terreno y de las ovejas. Encuentre el equilibrio de Nash del juego y compárelo con el óptimo social.
Dé una intuición económica breve para explicar a qué se deben las diferencias. Para el caso del campesino dos, la función de reacción es análoga. El equilibrio se obtiene al interceptar las funciones de reacción de los dos campesinos.
Esto se debe a que el pasto es un recurso común, y por lo tanto, los agentes lo utilizan en una medida mayor a la que lo deberı́an usar si internalizaran los costos. Qué sucede con los beneficios individuales y los beneficios sociales cuando el número de cam- pesinos aumenta?
Respuesta: A medida que el número de jugadores de involucrados en un juego de recursos comunes aumenta, mayor es la explotación del recurso común y, por tanto, los beneficios privados disminuyen a tal punto que, cuando el numero de jugadores tiende a infinito, los beneficios privados son cero.
Esto se debe a la condición de rivalidad de los recursos comunes. Lo mismo ocurre con el beneficio social.
Es decir, mientras más ovejas vayan a pastar, menos pasto quedará para las demás, incluso, para las propias, por lo que el beneficio tiende a cero. El éxito del sindica- to para presionar por aumentos salariales depende del número de miembros. El sindicato representa a todos trabajadores, por lo tanto, los beneficios salariales que se consigan serán percibidos tanto por los trabajadores sindicalizados como por los que no.
Ambos trabaja- dores deben decidir si unirse U o no unirse NU al sindicato. Calcule el nivel de utilidad de cada trabajador en cada uno de los tres casos y construya una matriz donde se reflejen los niveles de utilidad de cada trabajador asociado a la opción U y NU.
Lo interesante es que en este caso uno de los trabajadores decide unirse al sindicato por lo que se logran nuevas alzas salariales, en particular en este caso, el salario sube a En este último caso, ambos se deciden unir por lo que el sindicato es aún más fuerte para presionar por presiones salariales por lo que el salario alcanza a ser Encuentre el equilibrio de Nash de la matriz de juego construida en la pregunta anterior.
Comente sobre el los equilibrio s encontrado s. Respuesta: El juego anterior tiene dos equilibrios de Nash U,NU y NU,U. El equilibrio del juego está en que un trabajador siempre decidirá unirse al sindicato, mientras que el otro no. La idea es clara, ser miembro del sindicato tiene costos el costo de pagar la cuota y al mismo tiempo los logros que se consigan de la negociación serán percibidos por todos los trabajadores de la empresa.
De ahı́ que el incentivo sea que solo uno de los trabajadores entre al sindicato ası́ el otro se verı́a beneficiado del alza salarial y al mismo tiempo evita pagar el costo de ser parte del sindicato.
Lo interesante es que los equilibrios siempre son de este tipo, no es sostenible que ambos entren debido a que el incentivo a moverse es demasiado alto. Si uno de los trabajadores decide entrar entonces el otro no tendrá ninguna motivación a hacerlo. En este tipo de ejemplos, la conducta del jugador que no entra se conoce como Free-Rider, ya que, sin hacer nada, se ve beneficiado con la negociación y no enfrenta costo alguno.
Finalmente, comente sobre el resultado del juego si es que la negociación sindical beneficiara únicamente a los trabajadores que son miembros del sindicato. De hecho, esta medida podrı́a ser tomada por los propios miembros del sindicato de manera de evitar equilibrios como el encontrado en la pregunta anterior.
Coca-cola ha anunciado que está desarrollando una máquina de venta inteligente. Esta maquina es capaz de cambiar el precio según la temperatura ambiente, la cual puede ser lata o baja.
En el mes, la cantidad de dı́as de temperatura alta es igual a la cantidad de dı́as de temperatura baja. Suponga que Coca-Cola instala una máquina inteligente.
Alternativamente, suponga que Coca-Cola usa una máquina normal con un precio fijo. Subastas Suponga que la casa de sus sueños está siendo rematada ya que si antiguo dueño no pagó la hipoteca. Sea p el precio final que usted paga por la casa. Y bi es la oferta que usted hace para quedarse con la casa.
Suponga que hay n participantes en el remate y que ninguno de los jugadores tiene la misma valoración sobre la casa. La casa de adjudica a quien tenga la mayor oferta y se paga es segundo precio más alto. Encuentre un posible equilibrio para este juego.
Si el jugador 1 cambia su oferta a otro precio, al menos, igual a b2 , entonces el resultado del juego es el mismo. Una linea aérea pierde dos maletas pertenecientes a diferentes viajeros. Ambas maletas son idénti- cas y tiene el mismo contenido de difı́cil valoración por ejemplo antiguedades.
Además explica que si ambos escriben el mismo número el tomará éste como la verdadera valoración y les reembolsara esa cantidad a cada uno. c al que declare la mayor valoración.
Usted el viajero 1. Respuesta: El equilibrio de Nash es un par de números donde ninguno de los dos viajeros tiene incentivos a desviarse. Imagine que se está subastando el último disco de Justin Bieber y sólo asiste usted y otra per- sona más.
En caso de que ambos hagan la misma oferta, se sortea el ganador lanzando una moneda. La valoración que tiene cada postor por el bien vi es información privada, es decir, es una subasta a sobre cerrado. Además, denotamos pi el precio que paga el individuo cuando gana la subasta.
Una estrategia para el jugador i es una acción para cada posible valoración que pueda ocu- rrir, y la podemos denotar como bi vi. Como e individuo 1 desconoce la valoración que tiene el jugador 2, no puede saber con certeza la oferta que hará este último, aun cuando conozca su plan de acción b2 v2.
Dada esta incertidumbre, calcule la utilidad esperada del jugador 1. Respuesta: Un perfil de equilibrio es un par de estrategias b1 v1 , b2 v2 tal que nadie puede mejorar cambiando su estrategia. Luego, hemos encontrado un equilibrio donde cada individuo oferta 0 independientemente de la valoración vi que le corresponda.
Estrategias Mixtas Identifique el conjunto de estrategias puras y mixtas para cada jugador. Una estrategia mixta para el jugador 1 no es más que una distribución de probabilidad p, q, 1-p-q donde p representa la probabilidad de elegir A, q la probabilidad de elegir C, y 1-p-q la probabilidad de elegir B.
Y del mismo modo, una estrategia mixta para el jugador 2 consistirá en una loterı́a r, 1-r en la que r representa la probabilidad de elegir I y 1-r la probabilidad de elegir D.
Encuentre las ganancias esperadas para cada jugador. Cara o sello. Considere la siguiente matriz de pagos. Jugador 2 Cara Sello Cara 1, -1 -1, 1 Jugador 1 Sello -1, 1 1, -1 a. Encuentre los pagos esperados para cada jugador. Resuelva incorpo- rando el comportamiento de ambos jugadores en la misma función de pagos esperado.
Encuentre las funciones de reacción de cada jugador. Luego, { 21 , 12 , 12 , 12 } es un equilibrio de Nash. Jugador 2 Paloma Halcón Paloma 1, 1 0, 2 Jugador 1 Halcón 2, 0 -3, -3 a.
Encuentre todos los equilibrios de Nash existentes. Respuesta: Es fácil observar que existen dos EN en estrategias puras; { Paloma, Halcón , Halcón, Paloma }.
Dicen que la principal causa de peleas en una relación es por el lugar donde salir a comer. Suponga que usted prefiere la comida vegana y su pareja quiere ir al McDonals.
Sin embargo, ambos están mejor saliendo a comer junto que no haciéndolo. Considere la siguiente matriz de pagos para este problema. Encuentre las utilidades esperadas de ambos jugadores. Encuentre las funciones de mejor respuesta de ambos jugadores. Encuentre todos los posibles equilibrios de Nash.
Considere un juego entre dos firmas, una establecida en el mercado, la firma A, y una entrante, la firma B.
La firma A debe decidir si construir una nueva planta. La utilidad que obtendrı́a la firma depende de los costos de inversión y también de la entrada o no del posible competidor B. Por su parte, la firma B sólo se beneficiará de entrar en el mercado si la firma A no construye la planta.
Al momento de decidir, ninguna de las dos firmas conoce la decisión de la otra. La firma A debe elegir entre No Construir N-C o construir C una planta. La firma B debe optar si entrar E o no entrar N-E al mercado. Las utilidades respectivas en función de las estrategias, están resumidas en la siguiente matriz de pagos.
Firma B Entrar No-Entrar No-Construir 2, 1 2, 0 Firma A Construir 0, -1 3, 2 a. Determine para cada jugador si hay estrategias dominadas o dominantes.
Respuesta: No existen estrategias es dominadas ni dominantes ya que; si el jugador 1 juega N-C, la mejor respuesta del jugador 2 es jugar E.
Si el jugador 1 juega C, la mejor respuesta del jugador 2 es jugar N-E. Es decir, la mejor respuesta del jugador 2 cambia dependiendo de lo que juega el jugador 1. Lo mismo aplica para el jugador 1. Si el jugador 2 juega E, la mejor respuesta del jugador 1 es N-C. Si el jugador 2 juega N-E, la mejor respuesta del jugador 1 es C.
Por su parte una jugada posicional se considerará mucho más estratégica que táctica, aunque a la larga ambos elementos sean bicondicionales ¿Cuándo es correcto rendirse? En resumen, sopesad bien vuestras posibilidades, meditad vuestras decisiones y haced la jugada más ventajosa De manera verbal: indicándole al crupier que quieres rendirte. · De manera gestual: en algunos casinos, se permite indicar que te rindes, de
Yozshubei 
